Question

已知雙曲線E的中心為原點(diǎn)，P（3，0）是E的焦點(diǎn)，過P的直線l與E相交于A，B兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)為N（-12，-15），則E的方程式為（　　）

• A、

  x2

  3

  -

  y2

  6

  =1
• B、

  x2

  4

  -

  y2

  5

  =1
• C、

  x2

  6

  -

  y2

  3

  =1
• D、

  x2

  5

  -

  y2

  4

  =1

Answer 1

分析：已知條件易得直線l的斜率為1，設(shè)雙曲線方程，及A，B點(diǎn)坐標(biāo)代入方程聯(lián)立相減得x₁+x₂=-24，根據(jù)

y1-y2

x1-x2

=

4b2

5a2

，可求得a和b的關(guān)系，再根據(jù)c=3，求得a和b，進(jìn)而可得答案．

解答：解：由已知條件易得直線l的斜率為k=k_FN=1，
設(shè)雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則有

x12 a2 - y12 b2 =1 x22 a2 - y22 b2 =1

，
兩式相減并結(jié)合x₁+x₂=-24，y₁+y₂=-30得

y1-y2

x1-x2

=

4b2

5a2

，
從而=

4b2

5a2

=1
即4b²=5a²，
又a²+b²=9，
解得a²=4，b²=5，
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．考查了學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力．