Question

已知函數g（x）=ax²-2ax+1+b（a＞0）在區間[0，3]上有最大值4和最小值1．設f（x）=

g(x)

x

，
（1）求a、b的值；
（2）若不等式f（2^x）-k•2^x≥0在x∈[-1，1]上有解，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由a＞0可知二次函數的圖象是開口向上的拋物線，求出對稱軸方程，根據函數在區間[0，3]上有最大值4和最小值1列式求解a，b的值；
（2）利用（1）中求出的函數解析式，把不等式f（2^x）-k•2^x≥0在x∈[-1，1]上有解轉化為

3

4

•2x-

3

2

+

7

4•2x

-k•2x≥0在x∈[-1，1]上有解，分離變量k后，構造輔助函數，由k小于等于函數
在x∈[-1，1]上的最大值求k的取值范圍，然后利用換元法化為二次函數，利用二次函數求最值．

解答：解：（1）函數g（x）=ax²-2ax+1+b（a＞0），
∵a＞0，對稱軸為x=1，所以g（x）在區間[0，3]上是先減后增，
又g（x）在區間[0，3]上有最大值4和最小值1．
故

g(1)=1-2a+1+b=1 g(3)=9a-6a+1+b=4

，解得

a= 3 4 b= 3 4

；
（2）由（1）可得f(2x)=

g(2x)

2x

=

3

4

•2x-

3

2

+

7

4•2x

，
所以f（2^x）-k•2^x≥0在x∈[-1，1]上有解，可化為

3

4

•2x-

3

2

+

7

4•2x

-k•2x≥0在x∈[-1，1]上有解．
即k≤[

3

4

-

3

2

•

1

2x

+

7

4

•(

1

2x

)2]max．
令t=

1

2x

，∵x∈[-1，1]，故t∈[

1

2

，2]，
記h(t)=

7

4

t2-

3

2

t+

3

4

，對稱軸為：t=

3

7

，
∵t∈[

1

2

，2]，h（t）單調遞增，
故當t=2時，h（t）最大值為

19

4

．
所以k的取值范圍是k≤

19

4

．

點評：本題考查了恒成立問題，考查了二次函數的性質，訓練了利用二次函數的單調性求最值，考查了數學轉化思想方法，解答此題的關鍵在于把不等式在閉區間上有解轉化為分離變量后的參數k小于等于函數在閉區間上的最大值，是學生難以想到的地方，是難題．