Question

設等差數列{a_n}的首項a₁為a，前n項和為S_n．

(Ⅰ)若S₁，S₂，S₄成等比數列，求數列{a_n}的通項公式；

(Ⅱ)證明：n∈N*，S_n，S_n+1，S_n+2不構成等比數列．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)解：設等差數列{an}的公差為d，則Sn＝na＋， 　　S1＝a，S2＝2a＋d，S4＝4a＋6d．由于S1，S2，S4成等比數列，因此 　　＝S1·S4，即得d(2a－d)＝0．所以，d＝0或2a． 　　(1)當d＝0時，an＝a； 　　(2)當d＝2a時，an＝(2n－1)a．　6分 　　(Ⅱ)證明：采用反證法．不失一般性，不妨設對某個m∈N*，Sm，Sm＋1，Sm＋2構成等比數列，即．因此 　　a2＋mad＋m(m＋1)d2＝0，① 　　(1)當d＝0時，則a＝0，此時Sm＝Sm＋1＝Sm＋2＝0，與等比數列的定義矛盾； 　　(2)當d≠0時，要使數列{an}的首項a存在，必有①中的Δ≥0． 　　然而Δ＝(md)2－2m(m＋1)d2＝－(2m＋m2)d2＜0，矛盾． 　　綜上所述，對任意正整數n，Sn，Sn＋1，Sn＋2都不構成等比數列．　14分

提示：

本題主要考查等差數列、等比數列的概念、等差數列的通項公式及前n項和的公式，同時考查反證法與推理論證能力．滿分14分．