Question

已知函數y=f(x)=4cosxsin(x+

π

6

)-1．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及單調遞減區間；
（Ⅱ）若將f（x）圖象按向量

a

=(m，0)（m＞0）平移得到一個奇函數的圖象，求m滿足的表達式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）展開兩角和的正弦公式后進行單項式乘多項式運算，降冪后化積求周期，由復合函數的單調性求解減區間；
（Ⅱ）把f（x）按向量

a

=(m，0)（m＞0）平移后得到y=2sin(2x-2m+

π

6

)，再由函數為奇函數得到-2m+

π

6

=kπ，從而求得m的值．

解答：解：（Ⅰ）y=f(x)=4cosxsin(x+

π

6

)-1
=4cosx[sinxcos

π

6

+cosxsin

π

6

]-1
=4cosx[

3

2

sinx+

1

2

cosx]-1
=4cosx[

3

2

sinx+

1

2

cosx]-1
=2

3

cosxsinx+2cos2x-1
=2sin(2x+

π

6

)．
∴f（x）的最小正周期T=π．
由

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ⇒

π

3

+2kπ≤2x≤

4π

3

+2kπ⇒

π

6

+kπ≤x≤

2π

3

+kπ，k∈Z．
∴f（x）的減區間是[

π

6

+kπ，

2π

3

+kπ]k∈Z；
（Ⅱ）將f（x）圖象按向量

a

=(m，0)（m＞0）平移，
得到y=2sin[2(x-m)+

π

6

]
=2sin(2x-2m+

π

6

)，
∵該函數為奇函數，∴-2m+

π

6

=kπ⇒m=

π

12

-

k

2

π（k≤0，k∈Z）．
即m=

π

12

-

k

12

π （k≤0，k∈Z）．

點評：本題考查了三角函數中的恒等變換的應用，考查了兩角和與差的三角函數，訓練了三角函數的平移，考查了與三角函數有關的簡單復合函數的單調性的求法，是中檔題．