Question

已知在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=1，∠BCD=45°,∠BAD=90°,將△ABD沿對角線BD折起到如下圖所示PBD的位置，使平面PBD⊥平面BCD.

(1)求證：CD⊥PB；

（2）求二面角P—BC—D的大小（用反三角函數表示）；

（3）求點D到平面PBC的距離.

Answer 1

解析：∵∠BAD=90°,AD=AB,?

∴∠ADB=∠ABD=45°.∵AD∥BC,∠BCD=45°,∴∠BDC=90°,∴BD⊥DC.?

如下圖所示建立空間直角坐標系D—xyz,設BA=1，?

則D（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），P（，0，）.

(1)證明：=(0,- ,0),=(,0,- ).?

∴·=0，?

∴⊥,∴CD⊥PB.

(2)解：取平面BDC的法向量n=(0,0,1),?

設平面PBC的法向量為m=(x,y,z)?

∵=(,0,- ),=(-,,- ),?

∴即

令x=z=1,∴y=1,∴m=(1,1,1).?

∴cos〈n,m〉===.?

∴二面角P—BC—D的大小為arccos.

(3)解：過D做DM⊥平面PBC于點M，?

∴cos〈,m〉==.?

∴D到平面PBC的距離||=||×cos〈,m〉=.