Question

已知在四邊形ABCD中，AB=AD=4，BC=6，CD=2，3

AB

•

AD

+4

CB

•

CD

=0，求三角形ABC的外接圓半徑R為

2 21

3

．

Answer 1

分析：利用向量的數量積運算，可得cosA=-cosC，進一步得到cosB=-cosD，利用余弦定理，確定sinB=

3

2

，利用正弦定理，即可得出結論．

解答：解：∵3

AB

•

AD

+4

CB

•

CD

=0，
∴3|AB||AD|cosA+4|CB||CD|cosC=0，
∵AB=AD=4，BC=6，CD=2，
∴可得cosA=-cosC
∵0＜A＜π，0＜C＜π，
∴A+C=π，∴B+D=π，即cosB=-cosD
由余弦定理得|AC|²=|AB|²+|BC|²-|AB||BC|cosB=52-48cosB①|
AC|²=|AD|²+|CD|²-2|AD||CD|cosD=20-16cosD=20+16cosB②
聯立①②解得：cosB=

1

2

，|AC|=2

7

，
∴sinB=

3

2

設三角形ABC的外接圓的半徑為R，根據正弦定理得2R=

|AC|

sinB

，
∴R=

2 21

3

故答案為：

2 21

3

點評：本題考查向量知識的運用，考查余弦定理、正弦定理，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．