Question

已知f（x）是二次函數，不等式f（x）＜0的解集是（0，5），且f（x）在區間[-1，4]上的最大值是12．
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在實數m，使得方程f（x）-2mx=0在區間（m，m+6）內有且只有兩個不等的實數根？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由不等式解集的形式判斷出0，5是f（x）=0的兩個根，利用二次函數的兩根式設出f（x），求出f（x）在[-1，4]上的最大值，列出方程求出f（x）．
（2）根據第一問可求出方程f（x）-2mx=0的根，而在區間（m，m+6）內有且只有兩個不等的實數根，則0與m+5在區間（m，m+6）內且不相等，建立關系式，解之即可．

解答：解：（1）由題設可設f（x）=ax（x-5）（a＞0），
在區間[-1，4]上的最大值為f（-1）=12，
得a=2，f（x）=2x²-10x
（2）方程f（x）-2mx=0，根據（1）可知2x²-10x-2mx=0
解得x=0或m+5
0與m+5在區間（m，m+6）內且不相等，
即m＜0＜m+6且m≠-5
解得-6＜m＜0且m≠-5
∴m的取值范圍-6＜m＜0且m≠-5

點評：本題主要考查了函數解析式的求解及常用方法，同時考查了方程的根的分布，屬于中檔題．