Question

斜率為1的直線與橢圓x²+

y2

4

=1交于A，B兩點，O為坐標原點，則△AOB的面積最大值為

 

．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設出直線方程，和橢圓方程聯立后化為關于x的一元二次方程，由弦長公式求得AB長度，由點到直線的距離公式求出O到直線AB的距離，寫出三角形AOB的面積，然后利用二次函數求最值．

解答： 解：設直線L的方程y=x+b．
聯立

y=x+b x2+ y2 4 =1

，消去y得：5x²+2bx+b²-4=0，
由△=4b²-20（b²-4）＞0，得b²＜5．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x1+x2=-

2b

5

，x1x2=

b2-4

5

，
則|AB|=

2

|x1-x2|=

2

(x1-x2)2-4x1x2

=

2

(- 2b 5 )2-4• b2-4 5

=

4 2

5

5-b2

．
點O的AB的距離d=

|b|

2

=

2

2

|b|．
∴△AOB的面積S=

1

2

|AB|d=

1

2

×

4 2

5

5-b2

×

2

2

|b|
=

2

5

5b2-b4

．
∴當b2=

5

2

時，△AOB的面積有最大值為1，
故答案為：1．

點評：本題考查了直線與圓錐曲線的位置關系，涉及直線與圓錐曲線關系問題，常采用聯立直線與圓錐曲線，化為關于x的一元二次方程，然后利用根與系數關系求解，是中檔題．