Question

已知函數f（x）=．
（Ⅰ）若函數f（x）在定義域內為增函數，求實數P的取值范圍；
（Ⅱ）當n∈N^*時，試判斷與2ln（n+1）的大小關系，并證明你的結論；
（Ⅲ） 當n≥2且n∈N^*時，證明：．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）要使函數f（x）在定義域內為增函數，只需f′（x）≥0在定義域恒成立，從而可求出p的值；
（Ⅱ）欲證 ＞2ln（n+1），只需證＞2[ln（k+1）-lnk]（k∈N^*），分別取k=1，2，3，…，n，并將同向不等式相加可得結論；
（Ⅲ）先證＞ln（1+），從而可得＞lnk-ln（k-1），再分別取k=2，3，4，…，n，并將同向不等式相加，可得結論．
解答：（本小題滿分14分）
解：（Ⅰ）p＞0，函數f（x）=定義域為[1，+∞）．
f′（x）=．
依題意，在x∈（1，+∞）恒成立，∴p≥在x∈（1，+∞）恒成立．
而=4[-（-）²+]≤1，
∴p≥1，∴p的取值范圍為[1，+∞）．…（4分）
（Ⅱ）證明：當n∈N^*時，欲證 ＞2ln（n+1），只需證＞2[ln（k+1）-lnk]（k∈N^*）．
由（Ⅰ）可知：取p=1，則f（x）≥f（1）（x≥1），
而f（1）=0，∴≥lnx（當x=1時，等號成立）．
用代換x，得（x＞0），即＞2[ln（x+1）-lnx]（x＞0）．，
∴＞2[ln（k+1）-lnk]（k∈N^*）．
在上式中分別取k=1，2，3，…，n，并將同向不等式相加，得＞2ln（n+1）．
∴當n∈N^*時，＞2ln（n+1）．…（9分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知≥lnx（x=1時，等號成立）．
而當x≥2時：x-1≥，∴當x≥2時，x-1＞lnx．
設g（x）=x-1-lnx，x∈（0，2），則g′（x）=1-=，
∴g（x）在（0，1）上遞減，在（1，2）上遞增，
∴g（x）≥g（1）=0，即x-1≥lnx在x∈（0，2）時恒成立．
故當x∈（0，+∞）時，x-1≥lnx（當且僅當x=1時，等號成立）．…①
用x代換x-1得：x≥ln（1+x）（當且僅當1=0時，等號成立）．…②
當k≥2，k∈N^*時，由①得k-1＞lnk＞0，∴＞．
當k≥2，k∈N^*時，由②得 k＞ln（1+k），用代換k，得＞ln（1+）．
∴當k≥2，k∈N^*時，＞ln（1+）．即＞lnk-ln（k-1）．
在上式中分別取k=2，3，4，…，n，并將同向不等式相加，得．
故當n≥2且n∈N^*時，．…（14分）
點評：本題主要考查了利用導數研究函數的單調性，以及數列與不等式的綜合，同時考查了轉化的思想和計算能力，屬于難題．