Question

函數y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜

π

2

）在同一個周期內，當x=

π

4

時y取最大值1，當x=

7π

12

時，y取最小值-1．
（1）求函數的解析式y=f（x）．
（2）求該f（x）的對稱軸，并求在[0，π]的單調遞增區間．
（3）若函數f（x）滿足方程f（x）=a（0＜a＜1），求在[0，2π]內的所有實數根之和．

Answer 1

分析：（1）通過同一個周期內，當 x=

π

4

時y取最大值1，當 x=

7π

12

時，y取最小值-1．求出函數的周期，利用最值求出φ，即可求函數的解析式y=f（x）．
（2）根據正弦函數的單調區間，即可得到函數的單調區間，再由已知中自變量的取值范圍，進而得到答案．
（3）確定函數在[0，2π]內的周期的個數，利用f（x）=a（0＜a＜1）與函數的對稱軸的關系，求出所有實數根之和．

解答：解：（1）因為函數在同一個周期內，當x=

π

4

時y取最大值1，當x=

7π

12

時，y取最小值-1，
所以T=

2π

ω

=2×(

7π

12

-

π

4

)，
所以ω=3．
因為 sin(

3

4

π+φ)=1，
所以 

3π

4

+φ=2kπ+

π

2

（k∈Z），
又因為 |φ|＜

π

2

，
所以可得 φ=-

π

4

，
∴函數 f(x)=sin(3x-

π

4

)．
（2）令3x-

π

4

= kπ+

π

2

，所以x=

kπ

3

+

π

4

，
所以f（x）的對稱軸為x=

kπ

3

+

π

4

（k∈Z）；
令-

π

2

+2kπ≤3x-

π

4

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，
解得：-

π

12

+

2kπ

3

≤x≤

π

4

+

2kπ

3

，k∈Z
又因為x∈[0，π]，
所以令k分別等于0，1，可得x∈[0，

π

4

]，[

7π

12

，

11π

12

]，
所以函數在[0，π]上的單調遞增區間為[0，

π

4

]，[

7π

12

，

11π

12

]．
（3）∵f(x)=sin(3x-

π

4

)的周期為

2

3

π，
∴y=sin(3x-

π

4

)在[0，2π]內恰有3個周期，
∴sin(3x-

π

4

)=a(0＜a＜1)在[0，2π]內有6個實根且 x1+x2=

π

2

同理，x3+x4=

11

6

π，x5+x6=

19

6

π，
故所有實數之和為

π

2

+

11π

6

+

19π

6

=

11π

2

．

點評：本題主要考查求三角函數的解析式與三角函數的有關基本性質，如函數的對稱性，單調性，掌握基本函數的基本性質，是學好數學的關鍵．