Question

為了對2007年佛山市中考成績進行分析，在60分以上的全體同學中隨機抽出8位，他們的數學分數（已折算為百分制）從小到大排是60、65、70、75、80、85、90、95，物理分數從小到大排是72、77、80、84、88、90、93、95．
（1）若規定85分（包括85分）以上為優秀，求這8位同學中恰有3位同學的數學和物理分數均為優秀的概率；
（2）若這8位同學的數學、物理、化學分數事實上對應如下表：

用變量y與x、z與x的相關系數說明物理與數學、化學與數學的相關程度；
（3）求y與x、z與x的線性回歸方程（系數精確到0.01），并用相關指數比較所求回歸模型的效果．
參考數據：

.

x

=77.5，

.

y

=85，

.

z

=81，

8

i=1

(xi-

.

x

 )2≈1050，

8

i=1

(yi-

.

y

 )2≈456，

8

i=1

(zi-

.

z

 )2≈550，

8

i=1

(xi-

.

x

 )(yi-

.

y

 )≈688，

8

i=1

(xi-

.

x

 )(zi-

.

z

 )≈755，

8

i=1

(yi-

?

y

i)2≈7，

8

i=1

(zi-

?

z

i)2≈94，

1050

≈32.4，

456

≈21.4，

550

≈23.5．

Answer 1

分析：本題考查組合及運算、概率、相關系數的運算、回歸直線方程的求法和回歸模型的擬合效果判斷等多方面知識和方法．
（1）先從物理的4個優秀分數中選出3個與數學優秀分數對應，種數是C₄³A₃³（或A₄³），然后將剩下的5個數學分數和物理分數任意對應，種數是A₅⁵．則恰有3位同學的數學和物理分數均為優秀的選取種數為C₄³A₃³A₅⁵，問題得解；
（2）根據所給數據，以及相關系數公式計算可得物理與數學、化學與數學的相關系數，其相關程度易見；
（3）根據最小二乘法計算可得回歸方程

y

=b

x

+a中的b和a，回歸直線方程即得，通過相關指數R²的計算可以得到回歸方程的擬合程度．

解答：解：（1）這8位同學中恰有3位同學的數學和物理分數均為優秀，
則需要先從物理的4個優秀分數中選出3個與數學優秀分數對應，
種數是C₄³A₃³（或A₄³），然后將剩下的5個數學分數和物理分數任意對應，
種數是A₅⁵．根據乘法原理，滿足條件的種數是C₄³A₃³A₅⁵． （2分）
這8位同學的物理分數和數學分數分別對應的種數共有A₈⁸． （5分）
故所求的概率P=

C 3 4 A 3 3 A 5 5

A 8 8

=

1

14

． （4分）

（2）變量y與x、z與x的相關系數分別是r=

688

32.4×21.4

≈0.99、r′=

755

32.4×23.5

≈0.99．
可以看出，物理與數學、化學與數學的成績都是高度正相關．（6分）

（3）設y與x、z與x的線性回歸方程分別是

?

y

=bx+a、

?

z

=b′x+a′．
根據所給的數據，可以計算出b=

688

1050

=0.65，a=85-0.65*77.5=34.63，b′=

755

1050

=0.72，a′=81-0.72*77.5=25.20．（8分）
所以y與x和z與x的回歸方程分別是

?

y

=0.65x+34.63、

?

z

=0.72x+25.20．（11分）
又y與x、z與x的相關指數是R2=1-

7

456

≈0.98、R′2=1-

94

550

≈0.83． （11分）
故回歸模型

?

y

=0.65x+34.63比回歸模型

?

z

=0.72x+25.20的擬合的效果好．（12分）

點評：本題綜合性強，所用知識、方法眾多，將回歸分析的相關知識的考查發揮到了極值，盡管已知中提供了大量的數據，但計算量仍然很大，如相關系數、相關指數的計算、最小二乘法的使用等等，這會使計算過程容易出錯；
就本題的題意而言，思路清晰、方向明確，找到解題的途徑并不難．