Question

已知函數是定義在上的奇函數,其值域為.

(Ⅰ)試求的值.

(Ⅱ)函數滿足：①當時,；②.

①求函數在上的解析式.

②若函數在上的值域是閉區間,試探求的取值范圍,并說明理由.

Answer 1

解：（Ⅰ）定義域為,.

又為奇函數,由對恒成立,得 ……………………………………2分

因為的定義域為R,所以方程在R上有解,

當時,由,得,而的值域為,所以,解得;

當時,得,可知符合題意.所以……………………………………………………5分

（Ⅱ）①因為當時, ,所以

當時,……………………………………………………6分

   當時,,

   ……………………………………………………………………9分

②因為當時,在處取得最大值為,在處取得最小值為0……10分

所以當,分別在和處取得最值為與0……………………………………………………………………………………………11分

(1)當時,的值趨向無窮大，從而的值域不為閉區間…………12分

(2)當時,由得是為周期的函數，從而的值域為閉區間13分

(3)當時,由得,得是為周期的函數，

且當值域為，從而的值域為閉區間………14分

(4)當時,由，得的值域為閉區間………………15分

(5)當時,由，從而的值域為閉區間,

綜上知，當,即或時,的值域為閉區間…………16分