Question

拋物線y²=4x，O為坐標原點，A，B為拋物線上兩個動點，且OA⊥OB，當直線AB的傾斜角為45°時，△AOB的面積為______．

Answer 1

設直線AB的方程為y=x-m，代入拋物線聯立得x²-（2m+4）x+m²=0，則x₁+x₂=2m+4，x₁x₂=m²，
∴|x₁-x₂|=

16m+16

∵三角形的面積為S_△AOB=|

1

2

my₁-

1

2

my₂|=

1

2

m（|x₁-x₂|）=

1

2

m

16m+16

；
又因為OA⊥OB，設A（x₁，2

x1

），B（x₂，-2

x2

）
所以

2 x1

x1

•

-2 x2

x2

=-1，求的m=4，
代入上式可得S_△AOB=

1

2

m

16m+16

=

1

2

×4×

64+16

=8

5

故答案為：8

5