Question

拋物線y²=4x，O為坐標原點，A，B為拋物線上兩個動點，且OA⊥OB，當直線AB的傾斜角為45°時，△AOB的面積為

 

．

Answer 1

分析：設出直線的方程與拋物線方程聯立根據韋達定理表示出x₁+x₂和x₁x₂的表達式，然后利用配方法求得|x₁-x₂|，進而根據直線方程求得|y₁-y₂|，利用OA⊥OB垂直判斷出二直線的斜率的乘積為-1求得m，代入三角形面積公式求得答案．

解答：解：設直線AB的方程為y=x-m，代入拋物線聯立得x²-（2m+4）x+m²=0，則x₁+x₂=2m+4，x₁x₂=m²，
∴|x₁-x₂|=

16m+16

∵三角形的面積為S_△AOB=|

1

2

my₁-

1

2

my₂|=

1

2

m（|x₁-x₂|）=

1

2

m

16m+16

；
又因為OA⊥OB，設A（x₁，2

x1

），B（x₂，-2

x2

）
所以

2 x1

x1

•

-2 x2

x2

=-1，求的m=4，
代入上式可得S_△AOB=

1

2

m

16m+16

=

1

2

×4×

64+16

=8

5

故答案為：8

5

點評：本題主要考查了拋物線的應用．考查了學生分析問題和解決實際問題的能力．