Question

拋物線y²=4x，O為坐標原點，A，B為拋物線上兩個動點，且OA⊥OB，當直線AB的傾斜角為45°時，△AOB的面積為    ．

Answer 1

【答案】分析：設出直線的方程與拋物線方程聯立根據韋達定理表示出x₁+x₂和x₁x₂的表達式，然后利用配方法求得|x₁-x₂|，進而根據直線方程求得|y₁-y₂|，利用OA⊥OB垂直判斷出二直線的斜率的乘積為-1求得m，代入三角形面積公式求得答案．
解答：解：設直線AB的方程為y=x-m，代入拋物線聯立得x²-（2m+4）x+m²=0，則x₁+x₂=2m+4，x₁x₂=m²，
∴|x₁-x₂|=
∵三角形的面積為S_△AOB=|my₁-my₂|=m（|x₁-x₂|）=m；
又因為OA⊥OB，設A（x₁，2），B（x₂，-2）
所以=-1，求的m=4，
代入上式可得S_△AOB=m=×4×=8
故答案為：8
點評：本題主要考查了拋物線的應用．考查了學生分析問題和解決實際問題的能力．