Question

直線l：（m+1）x+2y-2m-2=0（m∈R）恒過定點C，以C為圓疏，2為半徑作圓C，
（1）求圓C方程；
（2）設點C關于y軸的對稱點為C¹，動點M在曲線E上，在△MCC'中，滿足∠C¹MC=2θ，△MCC'的面積為4tanθ，求曲線E的方程；
（3）點P在（2）中的曲線E上，過點P做圓C的兩條切線，切點為Q、R，求的最小值．

Answer 1

解：（1）設C（x，y），則（m+1）x+2y-2m-2=m（x-2）+x+2y-2=0（m∈R）
恒成立所以x=2，y=0，
即C（2，0）…（2分）
所以圓C的方程為（x-2）²+y²=4…（3分）
（2）由題可知C'（-2，0），
|CC'|=4，∠C'MC=2θ
在△MCC'中，設|MC'|=m，|MC|=n
所以，由余弦定理可知m²+n²-2mncos2θ=16①…（4分）
又因為，
所以②…（5分）
由①②得
整理得…（6分）
故點M在以C，C'為焦點的橢圓上
所以E的方程為…（8分）
注：不寫明（y=0）扣（1分）
（3）設…（10分）
=
當且僅當時等號成立，
又
所以得最小值為…（12分）
分析：（1）設C（x，y），則（m+1）x+2y-2m-2=m（x-2）+x+2y-2=0（m∈R）恒成立，所以C（2，0）．由此能求出圓C的方程．
（2）由題可知C'（-2，0），|CC'|=4，∠C'MC=2θ．在△MCC'中，設|MC'|=m，|MC|=n，由余弦定理可知m²+n²-2mncos2θ=16．因為，所以．由此能求出E的方程．
（3）設=．由此能求出的最小值．
點評：本題考查圓的方程和曲線方程的求法，求的最小值．解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，利用圓錐曲線的性質，合理地進行等價轉化．