Question

已知函數(shù)f（x）=-2sinx•cosx+2cos²x+1．
（1）設(shè)方程f（x）-1=0在（0，π）內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)x₁，x₂，求x₁+x₂的值；
（2）若把函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移m（m＞0）個(gè)單位使所得函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，2）對(duì)稱(chēng)，求m的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡(jiǎn)f（x）的解析式為cos（2x+）+2，由f（x）-1=0求得cos（2x+）=-，再根據(jù)x∈（0，π），求得x₁和x₂的值，即可求得x₁+x₂的值．
（2）設(shè)y=f（x）的圖象向左平移m個(gè)單位，得到函數(shù)g（x）的圖象，根據(jù)y=g（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，2）對(duì)稱(chēng)，求得mm=+，k∈Z，從而求得m的最小值．
解答：解：（1）由題設(shè)f（x）=-sin2x+1+cos2x+1=cos（2x+）+2，…（2分）
∵f（x）-1=0，∴cos（2x+）+1=0，…（3分）
∴cos（2x+）=-．…（4分）
由2x+=2kπ+π或2x+=2kπ+π，k∈Z，求得x=kπ+或x=kπ+．…（5分）
∵x∈（0，π），∴x₁=，x₂=，∴x₁+x₂=π．…（6分）
（2）設(shè)y=f（x）的圖象向左平移m個(gè)單位，得到函數(shù)g（x）的圖象，則g（x）=cos（2x++2m）+2，…（8分）
∵y=g（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，2）對(duì)稱(chēng)，
∴2m+=kπ+，k∈Z．…（10分）
∴2m=kπ+，k∈Z．
∴m=+，k∈Z．…（11分）
∵m＞0，
∴k=0時(shí)，m取得最小值．…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值，函數(shù)y=Asin（ωx+∅）的圖象變換規(guī)律，余弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，屬于基礎(chǔ)題．