Question

【題目】如圖，已知在Rt△ABC中，，，，它的內接正方形DEFG的一邊EF在斜邊BA上，D、G分別在邊BC、CA上，設△ABC的面積為，正方形DEFG的面積為.

（1）試用、分別表示和；

（2）設，求的最大值，并求出此時的.

Answer 1

【答案】（1），；（2），.

【解析】

（1）在直角三角形中，利用，，表示出，從而表示出，在直角三角形和中，分別表示出和，從而表示出正方形的邊長，表示出；（2）利用三角恒等變形以及三角函數的性質和基本不等式，計算出的最大值.

（1）在直角三角形中，

，，，

所以，

則的面積

在直角三角形和中

，，

正方形，所以，

所以，即，

所以，其中

（2）根據題意，可得，其中

令，

所以

因為，在上單調遞減，

所以，

所以

當且僅當，即，時，等號成立.

所以的最大值為，此時.