Question

已知函數f（x）=-2x²+（a+3）x+1-2a，g（x）=x（1-2x）+a，其中a∈R．
（1）若函數f（x）是偶函數，求函數f（x）在區間[-1，3]上的最小值；
（2）用函數的單調性的定義證明：當a=-2時，f（x）在區間上為減函數；
（3）當x∈[-1，3]，函數f（x）的圖象恒在函數g（x）圖象上方，求實數a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）函數f（x）是偶函數
∴f（x）=f（-x），即：-2x²+（a+3）x+1-2a=-2x²-（a+3）x+1-2a
∴a=-3
則f（x）=-2x²+7
∴對稱軸為x=0
∴最小值f（3）=-11
（2）∵a=-2
∴f（x）=-2x²+x+5
設x₁＜x₂ ，x_1、x₂∈
f（x₁）-f（x₂）=-2x₁²+x₁+5+2x₂²-x₂-5=（x₂-x₁）[2（x₁+x₂）-1]
∵x₁＜x₂ ，∴x₂＞x₁
∵x_1、x₂∈∴2（x₁+x₂）＞1∴2（x₁+x₂）-1＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0 即f（x₁）＞f（x₂）
∴當a=-2時，f（x）在區間上為減函數．
（3）由題意得-2x²+（a+3）x+1-2a＞x（1-2x）+a在[-1，3]上恒成立．即（a+2）x+1-3a＞0在[-1，3]上恒成立．
設h（x）=（a+2）x+1-3a，
①若a＞-2，該函數是增函數，只需f（-1）＞0即可，
則f（-1）=-4a-1＞0，解得a＜-，所以-2＜a＜-；
②若a＜-2，該函數是減函數，只需f（3）＞0即可，
則f（3）=7＞0，，所以a＜-2滿足；
③若a=-2，則該函數是y=7，它總在x軸上方，所以a=-2滿足要求．
故a的取值范圍是a＜．
分析：（1）根據偶函數的定義f（x）=f（-x），求出a的值和函數解析式，進而求出最小值；
（2）先設x₁＜x₂ ，x_1、x₂∈，推出f（x₁）＞f（x₂），從而可以證明結論；
（3）首先由題意得出（a+2）x+1-3a＞0在[-1，3]上恒成立．轉化成求函數h（x）=（a+2）x+1-3a的最小值，要采取分類討論次函數的斜率與單調性的關系，求出a的取值范圍．
點評：本題考查了函數的單調性、奇偶性等知識，綜合性強，第三問是一次函數的斜率與單調性的關系，同時考查分類討論的思想方法．