Question

（2014•廣東模擬）某電視臺舉行電視奧運知識大獎賽，比賽分初賽和決賽兩部分．為了增加節目的趣味性，初賽采用選手選一題答一題的方式進行，每位選手最多有5次選題答題的機會，選手累計答對3題或答錯3題即終止其初賽的比賽，答對3題者直接進入決賽，答錯3題者則被淘汰．已知選手甲答題的正確率為

2

3

．
（Ⅰ）求選手甲可進入決賽的概率；
（Ⅱ）設選手甲在初賽中答題的個數為ξ，試寫出ξ的分布列，并求ξ的數學期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由于答對3題者直接進入決賽，故可分為三類：一類是三題全對；一類是答4題，前3題錯一題，第4題答對；一類是答5題，前4題錯兩題，第5題答對，故可求求選手甲可進入決賽的概率；
（Ⅱ）依題意，ξ的可能取值為3，4，5．利用獨立重復試驗的概率公式分別求出相應的概率，從而得出ξ的分布列，進而可求概率．

解答：解：（Ⅰ）  選手甲答3道題可進入決賽的概率為(

2

3

)3=

8

27

；  …1分
選手甲答4道題可進入決賽的概率為

C

2 3

(

2

3

)2•

1

3

•

2

3

=

8

27

；…3分
選手甲答5道題可進入決賽的概率為

C

2 4

(

2

3

)2•(

1

3

)2•

2

3

=

16

81

； …5分
∴選手甲可進入決賽的概率p=

8

27

+

8

27

+

16

81

=

64

81

．        …7分
（Ⅱ）依題意，ξ的可能取值為3，4，5．則有p(ξ=3)=(

2

3

)3+(

1

3

)3=

1

3

，p(ξ=4)=

C

2 3

(

2

3

)2•

1

3

•

2

3

+

C

2 3

(

1

3

)2•

2

3

•

1

3

=

10

27

，p(ξ=5)=

C

2 4

(

2

3

)2•(

1

3

)2•

2

3

+

C

2 4

(

2

3

)2•(

1

3

)2•

1

3

=

8

27

，…10分
因此，有

ξ	3	4	5
p	1 3	10 27	8 27

∴Eξ=3•

1

3

+4•

10

27

+5•

8

27

=

107

27

=3

26

27

．          …12分．

點評：本題的考點是離散型隨機變量的期望與方差，主要考查等可能事件的概率，考查離散型隨機變量的分布列和期望，考查獨立重復試驗的概率公式，本題是一個綜合題目，考查的知識點比較全面，在應用獨立重復試驗的概率公式時，注意數字運算不要出錯．