Question

已知f（x）=-x²+ax-4（a＞0）對于x∈[1，3]恒小于或等于零．
（Ⅰ）求正數a的值所組成的集合A；
（Ⅱ）設關于x的方程f（x）+6=0的兩個根為x₁、x₂，若對任意x∈A及t∈[-1，1]，不等式m²+tm-2+2

6

≥|x₁-x|恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數恒成立問題

專題：計算題,函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）化簡f（x）=-x²+ax-4（a＞0）對于x∈[1，3]恒小于或等于零得a≤x+

4

x

，從而求出集合A；（Ⅱ）用韋達定理求|x₁-x₂|，化簡不等式化為函數最值問題．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=-x²+ax-4（a＞0）對于x∈[1，3]恒小于或等于零．
∴a≤x+

4

x

對x∈[1，3]恒成立．
∵x+

4

x

≥4（當且僅當x=2時，等號成立），
∴0＜a≤4，
∴A=（0，4]．
（Ⅱ）方程f（x）+6=0可化為x²-ax-2=0，
∵△=a²+8＞0，
∴x₁、x₂是方程方程f（x）+6=0的兩個不同的根；
∴x₁+x₂=a，x₁•x₂=-2，
∴|x₁-x₂|=

a2+8

，
∵0＜a≤4，∴2

2

＜|x1-x2|=

a2+8

≤2

6

．
∴不等式m2+tm-2+2

6

≥|x1-x2|對任意x∈A及t∈[-1，1]恒成立可化為
m²+tm-2≥0對任意t∈[-1，1]恒成立，
設g（t）=m²+tm-2=mt+（m²-2），
則

g(-1)=m2-m-2≥0 g(1)=m2+m-2≥0

，
解得，m≤-2或m≥2；
即m的取值范圍是（-∞，-2]∪[2，+∞）．

點評：本題考查了解決恒成立問題的兩種方法，獨立參數法和轉化為函數最值的方法，屬于難題．