Question

設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)且對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒有f（x+2）=-f（x），當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f（x）=2x-x²．
（1）當(dāng)x∈[-2，0）時(shí)，求f（x）的解析式；
（2）計(jì)算f（1）+f（2）+…+f（2014）的值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)解析式的求解及常用方法

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)x∈[-2，0）時(shí)，x+2∈[0，2]，結(jié)合f（x+2）=-f（x），及當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f（x）=2x-x²．可得當(dāng)x∈[-2，0）時(shí)，f（x）的解析式；
（2）由f（x+2）=-f（x），易得f（x）是T=4的周期函數(shù)，利用分組求和法，可得f（1）+f（2）+…+f（2014）的值．

解答： 解：（1）當(dāng)x∈[-2，0）時(shí)，x+2∈[0，2]
∴f（x+2）=2（x+2）-（x+2）²=-x²-2x，
又∵f（x+2）=-f（x），
∴f（x）=x²+2x…（6分）；
（2）∵f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
故f（x）是T=4的周期函數(shù)，
由（1）得：
f（1）=1，f（2）=0，f（3）=f（-1）=-1，f（4）=f（0）=0，
∴f（1）+f（2）+…+f（2014）=503×（1+0-1+0）+1+0=1…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)周期性的性質(zhì)，函數(shù)解析式的求解方法，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的簡(jiǎn)單綜合應(yīng)用，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．