Question

已知函數f（x）=ln（ax）-

x-a

x

（a≠0）
（Ⅰ）求函數f（x）的單調區(qū)間及最值；
（Ⅱ）求證：對于任意正整數n，均有1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

≥ln

en

n!

（e為自然對數的底數）；
（Ⅲ）當a=1時，是否存在過點（1，-1）的直線與函數y=f（x）的圖象相切？若存在，有多少條？若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,數列與不等式的綜合

專題：綜合題,導數的綜合應用

分析：（I）由題意知a≠0，先對函數求導，分a＞0，a＜0討論函數的定義域及單調區(qū)間，從而確定最值．
（II）當a=1時由（I）知函數f（x）的定義域（0，+∞），在（0，1）是減函數，[1，+∞）是增函數，從而有

1

x

≥1-lnx=ln

e

x

，分別把x=1，2，3…代入不等式相加可證
（III）假設存在滿足條件的直線與函數相切，根據導數的幾何意義，求出切線方程，結合導數的知識推導．

解答： （Ⅰ）解：由題意f′（x）=

x-a

x2

．
當a＞0時，函數f（x）的定義域為（0，+∞），
此時函數在（0，a）上是減函數，在（a，+∞）上是增函數，f_min（x）=f（a）=lna²，無最大值．（3分）
當a＜0時，函數f（x）的定義域為（-∞，0），
此時函數在（-∞，a）上是減函數，在（a，0）上是增函數，f_min（x）=f（a）=lna²，無最大值．（5分）
（Ⅱ）證明：取a=1，由（1）知f（x）=lnx-

x-1

x

≥f（1）=0，
故

1

x

≥1-lnx=ln

e

x

，
取x=1，2，3，…，
則1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

≥ln

en

n!

（e為自然對數的底數）；（8分）
（Ⅲ）解：假設存在這樣的切線，設其中一個切點T（x₀，lnx₀-

x0-1

x0

），
切線方程：y+1=

x0-1

x02

（x-1），將點T坐標代入得：lnx₀-

x0-1

x0

=

x0-1

x02

，即lnx₀+

3

x0

-

2

x02

-1=0，①
設g（x）=lnx+

3

x

-

2

x2

-1，則g′（x）=

(x-1)(x-2)

x3

．（10分）
∵x＞0，
∴g（x）在區(qū)間（0，1），（2，+∞）上是增函數，在區(qū)間（1，2）上是減函數，
故g（x）_極大值=g（1）=1＞0，g（x）_極小值=g（2）=ln2+

1

4

＞0．
又g（

1

4

）=ln

1

4

+12-16-1=-ln4-3＜0，
注意到g（x）在其定義域上的單調性，知g（x）=0僅在（

1

4

，1）內有且僅有一根
所以方程①有且僅有一解，故符合條件的切線有且僅有一條．（12分）

點評：本題考查了導數的應用：利用導數研究函數單調區(qū)間及求最值問題，而對不等式的證明問題，主要是結合函數的單調性，對于存在性問題，通常是先假設存在，由假設出發(fā)進行推導，若推出矛盾，說明假設錯誤，即不存在，反之說明存在．