【題目】已知函數
， 
， 
．
（1）若
，且
存在單調遞減區間，求實數
的取值范圍；
（2）設函數
的圖象
與函數
的圖象
交于點
， 
，過線段
的中點作
軸的垂線分別交
， 
于點
， 
，證明： 
在點
處的切線與
在點
處的切線不平行．
【答案】（1）
．（2）見解析.
【解析】試題分析：（1）
，則
，所以
有解，即
有
的解，所以
，所以
的取值范圍為
；（2）設點
、
的坐標分別為
， 
，則點
， 
的橫坐標為
， 
在點
處的切線斜率為
， 
在點
處的切線斜率為
，由反證法證明得
在點
處的切線與
在點
處的切線不平行．
試題解析：
（1）
時， 
，則
，
因為函數
存在單調遞減區間，所以
有解，
又因為
，則
有
的解，
所以
，
所以
的取值范圍為
．
（2）設點
、
的坐標分別為
， 
， 
，
則點
， 
的橫坐標為
， 
在點
處的切線斜率為
，
在點
處的切線斜率為
，
假設
在點
處的切線與
在點
處的切線平行，則
，即
，
則
，
所以
，設
，則
， 
，①
令
， 
，則
，
因為
時， 
，所以
在
上單調遞增，故
，
則
，這與①矛盾，假設不成立，
故
在點
處的切線與
在點
處的切線不平行．
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知a＝(sinx，cosx)，b＝(sinx，sinx)，f(x)＝2a·b.
(1)求f(x)的最小正周期和最大值；
(2)若g(x)＝f(x)，x∈
，畫出函數y＝g(x)的圖象，討論y＝g(x)－m(m∈R)的零點個數．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知橢圓
（a＞b＞0）的離心率
，過點
和
的直線與原點的距離為
．
（1）求橢圓的方程．
（2）已知定點
，若直線
與橢圓交于C、D兩點．問：是否存在k的值，使以CD為直徑的圓過E點?請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某化工企業2018年年底投入100萬元，購入一套污水處理設備。該設備每年的運轉費用是0.5萬元，此外，每年都要花費一定的維護費，第一年的維護費為2萬元，由于設備老化，以后每年的維護費都比上一年增加2萬元。設該企業使用該設備
年的年平均污水處理費用為
（單位：萬元）
（1）用表示；
（2）當該企業的年平均污水處理費用最低時，企業需重新更換新的污水處理設備。則該企業幾年后需要重新更換新的污水處理設備。
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知直線l過點P（3，4）
(1)它在y軸上的截距是在x軸上截距的2倍，求直線l的方程.
(2)若直線l與
軸，
軸的正半軸分別交于點
，求
的面積的最小值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知直線
:
，點
．
（1）求點
關于直線的對稱點
的坐標；
（2）直線關于點對稱的直線
的方程；
（3）以為圓心，3為半徑長作圓，直線
過點
，且被圓截得的弦長為
，求直線的方程．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某研究機構對高三學生的記憶力x和判斷力y進行統計分析，得下表數據：
x | 6 | 8 | 10 | 12 |
y | 2 | 3 | 5 | 6 |
（1）請在圖中畫出上表數據的散點圖；
（2）請根據上表提供的數據，用最小二乘法求出y關于x的線性回歸方程
；
（3）試根據（2）求出的線性回歸方程，預測記憶力為9的同學的判斷力.
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