Question

10．如圖，在△AOB中，∠AOB=$\frac{3π}{4}$，OA=6，M為邊AB上一點，M到邊OA，OB的距離分別為2，2$\sqrt{2}$，則AB的長為6$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 利用面積法求出OB=6$\sqrt{2}$，再根據余弦定理即可求出

解答 解：如圖所示，由題意可得MC=2$\sqrt{2}$，MD=2，且MC⊥OB，MD⊥OA，
∵S_△AOB=S_△MOB+S_△AOM，
∴$\frac{1}{2}$OA•OB•sin∠AOB=$\frac{1}{2}$OB•MC+$\frac{1}{2}$OA•MD，
即6×$\frac{\sqrt{2}}{2}$OB=2$\sqrt{2}$OB+6×2，
解得OB=6$\sqrt{2}$，
由余弦定理可得AB²=OB²+OA²-2OB•OA•cos∠AOB=72+36-2×6$\sqrt{2}$×6×（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=180，
∴AB=6$\sqrt{5}$，
故答案為：6$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了三角形的面積公式和余弦定理，考查了學生的運算能力，屬于中檔題