Question

12．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線與函數y=lnx+ln2+1的圖象相切，則雙曲線的離心率等于（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 由函數的導數的幾何意義可知：則漸近線的斜率為k=$\frac{a}{b}$=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$，則$\frac{ln{x}_{0}+ln2+1}{{x}_{0}}$=$\frac{1}{{x}_{0}}$，解得：x₀=$\frac{1}{2}$，即可求得b=2a，雙曲線的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{5}$．

解答 解：由函數y=lnx+ln2+1，（x＞0），求導y′=$\frac{1}{x}$，設漸近線與函數的切點為P（x₀，y₀），
則漸近線的斜率為k=$\frac{b}{a}$=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$，
∴$\frac{ln{x}_{0}+ln2+1}{{x}_{0}}$=$\frac{1}{{x}_{0}}$，解得：x₀=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{b}{a}$=$\frac{1}{\frac{1}{2}}$=2，b=2a，
雙曲線的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{5}$，
故選D．

點評 本題考查導數的幾何意義及雙曲線的簡單幾何性質，考查直線的斜率公式，屬于基礎題．