Question

8．已知x、y滿足曲線方程x²+$\frac{1}{{y}^{2}}$=2，則x²+y²的取值范圍是（　�。�

• A． [0，+∞）
• B． [2，+∞）
• C． [$\frac{1}{2}$，+∞）
• D． [$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$）

Answer 1

分析 x²+$\frac{1}{{y}^{2}}$=2，則x²+y²=2-$\frac{1}{{y}^{2}}$+y²，令y²=t∈$[\frac{1}{2}，+∞）$．則f（t）=2+t-$\frac{1}{t}$，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：∵x²+$\frac{1}{{y}^{2}}$=2，則x²+y²=2-$\frac{1}{{y}^{2}}$+y²，
令y²=t∈$[\frac{1}{2}，+∞）$．
則f（t）=2+t-$\frac{1}{t}$，f′（t）=1+$\frac{1}{{t}^{2}}$＞0，因此函數(shù)f（t）在t∈$[\frac{1}{2}，+∞）$單調(diào)遞增．
∴f（t）∈$[\frac{1}{2}，+∞）$．
故選：C．

點評 本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．