Question

11．已知雙曲線的離心率為$\frac{\sqrt{7}}{2}$，且其頂點到其漸近線的距離為$\frac{2\sqrt{21}}{7}$，則雙曲線的方程為（　　）

• A． $\frac{{x}^{2}}{3}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{3}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1或$\frac{{y}^{2}}{3}$-$\frac{{x}^{2}}{4}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1或$\frac{{y}^{2}}{4}$-$\frac{{x}^{2}}{3}$=1

Answer 1

分析 由當焦點在x軸上，設雙曲線方程，由離心率公式求得$\frac{b}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即可求得漸近線方程，由點到直線的距離公式即可求得a的值，求得雙曲線方程，同理當焦點在y軸上時，即可求得雙曲線方程．

解答 解：當焦點在x軸上，設雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞0，b＞0），
雙曲線的離心率為e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
∴$\frac{b}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，漸近線方程為y=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
由題意，頂點到漸近線的距離，$\frac{丨\frac{\sqrt{3}}{2}a丨}{\sqrt{\frac{3}{4}+1}}$=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$，解得a=2，
∴∴b=$\sqrt{3}$，
∴雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
當焦點在y軸上，設雙曲線方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
漸近線方程為y=±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x，
由題意可知：頂點到漸近線的距離為$\frac{丨a丨}{\sqrt{\frac{4}{3}+1}}$=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$，解得a=2，
∴b=$\sqrt{3}$，
∴雙曲線的方程為$\frac{{y}^{2}}{4}-\frac{{x}^{2}}{3}=1$，
綜上可知：雙曲線的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$或$\frac{{y}^{2}}{4}-\frac{{x}^{2}}{3}=1$．
故選D．

點評 本題考查雙曲線的標準方程，雙曲線的簡單的幾何性質，漸近線方程及點到直線的距離公式，考查計算能力，屬于中檔題．