Question

拋物線y=x²（-2≤x≤2）繞y軸旋轉一周形成一個如圖所示的旋轉體，在此旋轉體內水平放入一個正方體，使正方體的一個面恰好與旋轉體的開口面平齊，則此正方體的棱長是

 

．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：根據題意過正方體的一個對角面作一截面，得到拋物線的一個截面圖，如圖．陰影部分就是正方體的對角面，D是正方體的體對角線，設正方體的棱長為M，得出的A點坐標B，代入拋物線方程，求得此正方體的棱長x．

解答： 解：作過正方體的兩條相對側棱的截面圖如圖，
設正方體AC₁的棱長AA₁=a，則底面對角線AC=

2

a，
所以A點的橫坐標等于

2

2

a，代入拋物線y=x²得：y=（

2

2

)2=

a2

2

，
即A點縱坐標為（

2

2

a，

a2

2

）．
又由題意可知A點縱坐標等于4-a．
所以

a2

2

，解得：a=2．
所以正方體的棱長是2．
故答案為2．

點評：本題考查了拋物線的應用，考查了數形結合的解題思想和數學轉化思想，能夠正確作出該題的截面圖是解答該題的關鍵，屬中檔題．