Question

已知橢圓上的任意一點到它的兩個焦點F₁（-c，0），F₂（c，0）（c＞0）的距離之和為，且其焦距為2．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知直線x-y+m=0與橢圓C交于不同的兩點A，B．問是否存在以A，B為直徑的圓過橢圓的右焦點F₂．若存在，求出m的值；不存在，說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）依題意可知
又b²=a²-c²，解得------------------（2分）
則橢圓方程為．---------------------（4分）
（Ⅱ）聯立方程消去y整理得：3x²+4mx+2m²-2=0（6分）
則△=16m²-12（2m²-2）=8（-m²+3）＞0
解得①--------------------（7分）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則，，
又F₂（1，0），∴，
若存在，則，即：（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=0，∴x₁x₂-（x₁+x₂）+1+y₁y₂=0②
又y₁=x₁+m，y₂=x₂+m，∴
代入②有
∴，
解得或------------------（11分）
檢驗都滿足①，∴------------------（12分）
分析：（Ⅰ）利用橢圓上的任意一點到它的兩個焦點的距離之和為，且其焦距為2，建立方程組，求得幾何量，從而可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）直線與橢圓方程聯立，利用韋達定理，及向量知識，即可求得結論．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查向量知識的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．