【題目】已知函數
.
（Ⅰ）求函數
在
處的切線方程；
（Ⅱ）若對任意的
，
恒成立，求
的取值范圍；
（Ⅲ）當
時，設函數
.證明：對于任意的
，函數
有且只有一個零點.
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）
（Ⅲ）見證明
【解析】
（I）求得切點坐標和斜率，由此求得切線方程.（II）將原不等式分離常數，得到
恒成立，構造函數
，利用導數求得函數
的最大值，由此求得
的取值范圍.（III）先求得
的表達式，然后利用導數證得在
上有一個零點.再利用導數證得在
上沒有零點，由此得證.
解：（Ⅰ）已知函數
，
可得
，且
，
函數
在
處的切線方程為.
（Ⅱ）
對任意
恒成立，所以.
令，則
令
，解得
.
當時
時，
，所以在
上單調遞增；
當
時，
，所以在
上單調遞減.
所以
，
所以
，即
，所以的取值范圍為.
（Ⅲ）證明：由已知
，則
.且可知
.
當
時，
，單調遞增，
，
，所以
在有唯一實根.
當
時，令
，則
.
，
在
單調遞減；在
單調遞增.所以
.所以在
沒有實根.
綜上，對于任意的
，函數有且只有一個零點.
天天向上一本好卷系列答案
小學生10分鐘應用題系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在如圖所示的幾何體中，四邊形
是正方形，四邊形
是梯形，
∥
，
，平面
平面，且
.
（Ⅰ）求證：
∥平面
；
（Ⅱ）求二面角
的大小；
（Ⅲ）已知點
在棱上，且異面直線
與
所成角的余弦值為
，求線段
的長．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中：
底面ABCD，底面ABCD為梯形，
，
，且
，BC=1，M為棱PD上的點。
（Ⅰ）若
，求證：CM∥平面PAB；
（Ⅱ）求證：平面
平面PAB；
（Ⅲ）求直線BD與平面PAD所成角的大小.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
，其中
.
（1）若曲線
在點
處的切線與直線
平行，求
與
滿足的關系；
（2）當
時，討論
的單調性；
（3）當
時，對任意的
，總有
成立，求實數
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖為我國數學家趙爽（約3世紀初）在為《周髀算經》作注時驗證勾股定理的示意圖，現在提供5種顏色給其中5個小區域涂色，規定每個區域只涂一種顏色，相鄰區域顏色不相同，則不同的涂色方案共有（ ）
A.360種B.720種C.480種D.420種
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知8件不同的產品中有3件次品，現對它們一一進行測試，直至找到所有次品．
(1)若恰在第2次測試時，找到第一件次品，第6次測試時，才找到最后一件次品，則共有多少種不同的測試方法？
(2)若至多測試5次就能找到所有次品，則共有多少種不同的測試方法？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的左右頂點是雙曲線
的頂點，且橢圓
的上頂點到雙曲線
的漸近線的距離為
。
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線
與相交于
兩點，與相交于
兩點，且
，求
的取值范圍.
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