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如圖所示,F1、F2分別是橢圓數學公式的左、右焦點,M為橢圓上一點,MF2垂直于x軸,且OM與橢圓長軸和短軸端點的連線AB平行.
(1)求橢圓的離心率;
(2)過F2有與OM垂直的直線交橢圓于P、Q兩點,若數學公式,求橢圓的方程.

解:(1)∵M為橢圓上一點,MF2垂直于x軸,∴M(c,
∵OM與橢圓長軸和短軸端點的連線AB平行,

∴b=c
∴e==
(2)由(1)得,b=c
聯立方程組,消元可得5y2-2cy-2c2=0
設P(x1,y1),Q(x2,y2),則y1+y2=,y1y2=-
∴|y1-y2|=

∴c2=b2=25,a2=50
∴橢圓的方程為
分析:(1)確定M的坐標,利用OM與橢圓長軸和短軸端點的連線AB平行,得到斜率相等,由此即可求得橢圓的離心率;
(2)由(1)得,b=c,聯立方程組,消元可得5y2-2cy-2c2=0,利用韋達定理,計算三角形的面積,利用已知條件即可求得橢圓的方程.
點評:本題考查橢圓的性質,考查橢圓的標準方程,聯立方程組,利用韋達定理,計算三角形的面積是關鍵.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

精英家教網如圖所示,F1,F2分別為橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右兩個焦點,A,B為兩個頂點,已知橢圓C上的點到F1,F2兩點的距離之和為4且b=
3

(1)求橢圓C的方程和焦點坐標;
(2)過橢圓C的焦點F2作AB的平行線交橢圓于P,Q兩點,求△F1PQ的面積.

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科目:高中數學 來源: 題型:

精英家教網如圖所示,F1、F2分別為橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1 (a>b>0)
的左、右兩個焦點,A、B為兩個頂點,已知橢圓C上的點(1,
3
2
)
到F1、F2兩點的距離之和為4.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)過橢圓C的焦點F2作AB的平行線交橢圓于P、Q兩點,求△F1PQ的面積.

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科目:高中數學 來源: 題型:

如圖所示,F1、F2分別為橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左、右兩個焦點,A、B為兩個頂點,已知橢圓C上的點(1,
3
2
)到F1、F2兩點的距離之和為4.
(1)求橢圓C的方程和焦點坐標;
(2)設點M是橢圓上的動點N(0,
1
2
),求|MN|的最大值.
(3)過橢圓C的焦點F2作AB的平行線交橢圓于P、Q兩點,求△F1PQ的面積.

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科目:高中數學 來源: 題型:

如圖所示,F1、F2分別為橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1 (a>b>0)
的左、右兩個焦點,A、B為兩個頂點;已知頂點B(0,
3
)
到F1、F2兩點的距離之和為4.
(1)求橢圓C的方程;
(2)證明:橢圓C上任意一點M(x0,y0)到右焦點F2的距離的最小值為1.
(3)作AB的平行線交橢圓C于P、Q兩點,求弦長|PQ|的最大值,并求|PQ|取最大值時△F1PQ的面積.

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2013•牡丹江一模)如圖所示,F1和F2分別是雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1
(a>0,b>0)的兩個焦點,A和B是以O為圓心,|OF1|為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個交點,且△F2AB是等邊三角形,則離心率為(  )

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