Question

偶函數(shù)f(x)=ax⁴+bx³+cx²+dx+e的圖象過點P(0,1),且在x=1處的切線方程為y=x-2.

(1)求y=f(x)的解析式;

(2)求點P處的切線方程.

Answer 1

解：(1)因為f(x)是偶函數(shù),所以b=d=0.

因為f(x)圖象過點P(0,1),所以f(0)=e=1.

因為f(x)圖象在x=1處的切線是y=x-2,所以切點為(1,-1),

所以f(1)=a+c+1=-1,

即a+c=-2.                                                                    ①

f(x)圖象在(1,-1)的切線斜率為

=

=

=［(4a+2c)+(6a+c)Δx+4a(Δx)²+a(Δx)³］=4a+2c,

即4a+2c=1.                                                                   ②

聯(lián)立①②得a=,c=-.

所以f(x)的解析式為f(x)=x⁴-x²+1.

(2)f(x)圖象在點P(0,1)處的切線的斜率為

k=

=

=((Δx)³-(Δx))=0,

所以f(x)圖象在P(0,1)處的切線方程為y-1=0.