Question

（本小題滿分12分）
在數列中，已知．
（Ⅰ）求數列的通項公式；
（Ⅱ）設且的前項和為，求證：．

Answer 1

（Ⅰ）

（Ⅰ）解法一：
而，所以，
即，數列是首項和公比都為2的等比數列           （4分）
，所以數列的通項公式為       （6分）
解法二：因為，
所以
由此猜想，下面用數學歸納法證明猜想的正確性：     （2分）
（1）當時，等式顯然成立；
（2）假設當時等式成立，即
那么，
所以當時，等式也成立
由（1）、（2）知，數列的通項公式為
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）及題設知，
那么，所以
以上兩個等式兩邊相減得，

所以，進而得        （10分）

所以，                     （12分）