Question

（2012•濟南二模）已知等比數列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足S_n=3ⁿ+k．
（1）求k的值及數列{a_n}的通項公式；
（2）若數列{b_n}滿足

an+1

2

=(4+k)anbn，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）當n≥2時利用遞推公式a_n=S_n-S_n-1先求a_n，然后由a₁=S₁=3+k滿足通項可求k及a_n
（2）由

an+1

2

=(4+k)anbn，可求b_n，結合數列的特點，考慮利用錯位相減法可求數列的和

解答：解（1）當n≥2時由an=Sn-Sn-1=3n+k-3n-1-k=2•3n-1…（2分）
∵a₁=S₁=3+k，
∴k=-1，…（4分）
（2）由

an+1

2

=(4+k)anbn，可得bn=

n

2•3n-1

，
bn=

3

2

•

n

3n

，…（6分）
∴Tn=

3

2

(

1

3

+

2

32

+

3

33

+…+

n

3n

)…（7分）

1

3

Tn=

3

2

(

1

32

+

2

33

+

3

34

+…+

n

3n+1

)…（9分）
兩式相減可得，

2

3

Tn=

3

2

（

1

3

+

1

32

+

1

33

+…+

1

3n

-

n

3n+1

）
=

3

2

×[

1 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

-

n

3n+1

]
=

3

2

×[

1- 1 3n

2

-

n

3n+1

]…（10分）
               
∴Tn=

9

4

(

1

2

-

1

2•3n

-

n

3n+1

)…（12分）

點評：本題主要考查了利用數列的遞推公式a_n=S_n-S_n-1在求解數列的通項公式中的應用，數列求和方法的錯位相減法是求和的難點所在．