Question

已知圓C:(x-1)²+y²=r²(r＞1),設M為圓C與x軸負半軸的交點,過點M作圓C的弦MN,并使它的中點P恰好落在y軸上.

(1)當r=2時,求滿足條件的P點的坐標;

(2)當r∈(1,+∞)時,求點N的軌跡E的方程;

(3)若A(x₁,2)、B(x₂,y₂)、C(x₀,y₀)是E上不同的點,且AB⊥BC,求y₀的取值范圍.

Answer 1

解:(1)當r=2時,M(-1,0),設P(0,b),由題意得N(1,2b),所以(1-1)²+(2b)²=2².解得b=±1,

故所求點P的坐標為(0,-1)或(0,1).

(2)由條件知M(-r+1,0),設P(0,b),N(x,y),則x=r-1,

所以(r-1-1)²+y²=r²,即y²=4r-4=4x.

所以點N的軌跡方程為y²=4x.

(3)由(2)知A(1,2),B(,y₂),C(,y₀),y₀≠2,y₀≠y₂,則AB=(,y₂-2),=(,y₀-y₂),

又因為AB⊥BC,所以AB·BC=0,

×+(y₂-2)(y₀-y₂)=0.

整理得y₂²+(y₀+2)y₂+16+2y₀=0,則此方程有解,

所以Δ=(y₀+2)²-4×(16+2y₀)≥0,

解得y₀≤-16或y₀≥10.10分

當y₀=-6時,B(4,2),C(9,-6),故符合條件.

當y₀=10時,B(9,-6),C(25,10),故符合條件.

所以點C的縱坐標y₀的取值范圍是(-∞,-6］∪［10,+∞).