Question

在等差數列{a_n}中，a₁+a₂=7，a₃=8，令b_n=

1

anan+1

，數列{b_n}的前n項和為T_n．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求數列{b_n}的前n項和T_n；
（Ⅲ）是否存在正整數m，n（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n成等比數列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：數列的求和,等比數列的性質,數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（I）利用等差數列的通項公式即可得出；
（II）b_n=

1

anan+1

=

1

(3n-1)(3n+2)

=

1

3

(

1

3n-1

-

1

3n+2

)．利用“裂項求和”即可得出；
（III）假設存在正整數m，n（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n成等比數列．可得(

m

6m+4

)2=

1

10

×

n

6n+4

，化為：(

2

m

+3)2=15+

10

n

，由于1＜m＜n，經過驗證m=2，n=10，符合條件．當m≥3時，左邊＜右邊．

解答： 解：（I）設等差數列{a_n}的公差為d，∵a₁+a₂=7，a₃=8，∴

2a1+d=7 a1+2d=8

，解得

a1=2 d=3

，
∴a_n=2+3（n-1）=3n-1．
（II）b_n=

1

anan+1

=

1

(3n-1)(3n+2)

=

1

3

(

1

3n-1

-

1

3n+2

)．
∴T_n=

1

3

[(

1

2

-

1

5

)+(

1

5

-

1

8

)+…+(

1

3n-1

-

1

3n+2

)]
=

1

3

(

1

2

-

1

3n+2

)
=

n

6n+4

．
（III）假設存在正整數m，n（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n成等比數列．
則

T

2 m

=T1•Tn，
∴(

m

6m+4

)2=

1

10

×

n

6n+4

，
化為：(

2

m

+3)2=15+

10

n

，
∵1＜m＜n，
∴m=2，n=10，符合條件．
當m≥3時，左邊≤(

11

3

)2=13+

4

9

＜右邊．
因此只有m=2，n=10，符合條件．
∴存在正整數m=2，n=10（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n成等比數列．

點評：本題考查了等差數列與等比數列的通項公式、“裂項求和”，考查了猜想分析歸納驗證的能力，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．