Question

【題目】如圖所示，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，BC=CD=2，AF=BF，EC∥FD，FD⊥底面ABCD，M是AB的中點．
（1）求證：平面CFM⊥平面BDF；
（2）點N在CE上，EC=2，FD=3，當CN為何值時，MN∥平面BEF．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵FD⊥底面ABCD，∴FD⊥AD，FD⊥BD

∵AF=BF，∴△ADF≌△BDF，∴AD=BD，

連接DM，則DM⊥AB，

∵AB∥CD，∠BCD=90°，

∴四邊形BCDM是正方形，∴BD⊥CM，

∵DF⊥CM，∴CM⊥平面BDF．

（2）解：當CN=1，即N是CE的中點時，MN∥平面BEF．

證明如下：

過N作NO∥EF，交ED于O，連結MO，

∵EC∥FD，∴四邊形EFON是平行四邊形，

∵EC=2，FD=3，∴OF=1，∴OD=2，

連結OE，則OE∥DC∥MB，且OE=DC=MB，

∴四邊形BMOE是平行四邊形，則OM∥BE，又OM∩ON=O，

∴平面OMN∥平面BEF，

∵MN平面OMN，∴MN∥平面BEF．

【解析】（1）推導出四邊形BCDM是正方形，從而BD⊥CM，又DF⊥CM，由此能證明CM⊥平面BDF．（2）過N作NO∥EF，交EF于O，連結MO，則四邊形EFON是平行四邊形，連結OE，則四邊形BMON是平行四邊形，由此能推導出N是CE的中點時，MN∥平面BEF．
【考點精析】掌握直線與平面平行的判定和平面與平面垂直的判定是解答本題的根本，需要知道平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．