Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左右焦點分別為F₁，F₂，過F₁的直線分別交雙曲線的兩條漸近線于點P，Q．若點P是線段F₁Q的中點，且QF₁⊥QF₂，則此雙曲線的離心率等于

 

．

Answer 1

分析：點P是F₁Q的中點，O是F₁F₂的中點，利用三角形的中位線定理可得OP∥F₂Q．已知QF₁⊥QF₂，可得F₁Q⊥OP．進而得到直線F₁P的方程，即可得到點P的坐標，利用兩點間的距離公式可得|OP|，得到|QF₂|，及|QF₁|．在Rt△F₁QF₂中，利用勾股定理可得a，c的關系．

解答：解：如圖所示，
∵點P是F₁Q的中點，O是F₁F₂的中點，∴OP∥F₂Q．
∵QF₁⊥QF₂，∴F₁Q⊥OP．
∵OP的方程為y=-

b

a

x．∴kF1P=

a

b

，
∴直線F₁P的方程為y=

a

b

(x+c)．
聯立

y=- b a x y= a b (x+c)

，解得

x=- a2 c y= ab c

即P(-

a2

c

，

ab

c

)．
∴|OP|=

(- a2 c )2+( ab c )2

=a．
∴|QF₂|=2a，|QF₁|=4a．
在Rt△F₁QF₂中，∵|QF1|2+|QF2|2=|F1F2|2，
∴（2a）²+（4a）²=（2c）²，化為

c2

a2

=5．
∴e=

c

a

=

5

．
故答案為

5

．

點評：本題綜合考查了雙曲線的標準方程及其性質、三角形的中位線定理、勾股定理、相互垂直的直線之間的關系等基礎知識與基本技能方法，屬于中檔題．