Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n=n²+（λ+1）n+λ，（λ為常數）
（1）判斷{a_n}是否為等差數列，并求{a_n}的通項公式；
（2）若數列{S_n}是遞增數列，求λ的取值范圍；
（3）若S₁₂＜0，S₁₃＞0，求S₁，S₂，…S₁₂中的最小值．

Answer 1

分析：（1）易求n=1時a₁=2λ+2，n≥2時a_n=S_n-S_n-1=2n+λ，通過對λ=0與λ≠0的討論，即可判斷{a_n}是否為等差數列，并求{a_n}的通項公式；
（2）依題意，知2n+λ＞0對任意n≥2恒成立，從而可求λ的取值范圍；
（3）由S₁₂＜0，S₁₃＞0可求得-13＜λ＜-12，利用二次函數S_n=n²+（λ+1）n+λ的對稱軸n=-

λ+1

2

∈（

11

2

，6）即可求得S₁，S₂，…S₁₂中的最小值．

解答：解：（1）n=1時a₁=S₁=2λ+2（1分）
n≥2時a_n=S_n-S_n-1=2n+λ（2分）
1）當λ=0時a_n=2n，故{a_n}是等差數列；（3分）
2）當λ≠0時a₁=2λ+2，n≥2時a_n=2n+λ，故{a_n}不是等差數列；（5分）
綜合：{a_n}的通項公式為a_n=

2λ+2(n=1) 2n+λ(n≥2)

；（6分）
（2）n≥2時S_n-S_n-1=2n+λ，
由題意知2n+λ＞0對任意n≥2恒成立，（9分）
即λ＞-2n對任意n≥2恒成立，故λ＞-4（11分）
（3）由S₁₂＜0，S₁₃＞0得

13λ+156＜0 14λ+182＞0

，即-13＜λ＜-12（13分）
∵S_n=n²+（λ+1）n+λ的對稱軸為n=-

λ+1

2

，-13＜λ＜-12，
∴

11

2

＜-

λ+1

2

＜6，（14分）
故當n=6時S_n最小，即S₁，S₂，S₁₂中S₆最小．（16分）

點評：本題考查等差關系的確定，考查數列的函數特性，突出分類討論思想、方程思想與化歸思想的綜合應用，屬于難題．