Question

已知函數(shù)F₁（x）=e^|x-1|，F(xiàn)₂（x）=e 

x

3

+1，g（x）=

F1(x)+F2(x)

2

+

|F1(x)-F2(x)|

2

，若a，b∈[-1，5]，且當(dāng)x₁、x₂∈[a，b]時，

g(x1)-g(x2)

x1-x2

＞0恒成立，則b-a的最大值是

 

．

Answer 1

考點：指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：閱讀型,數(shù)形結(jié)合

分析：根據(jù)題意得出g（x）=

e|x-1|，x＜0，或x＞3 e x 3 +1，0≤x≤3

畫圖象可判斷，根據(jù)

g(x1)-g(x2)

x1-x2

＞0恒成立，得出單調(diào)遞增，運(yùn)用圖象可判斷．

解答： 解：∵函數(shù)F₁（x）=e^|x-1|，F(xiàn)₂（x）=e 

x

3

+1，
g（x）=

F1(x)+F2(x)

2

+

|F1(x)-F2(x)|

2

，
∴g（x）=

e|x-1|，x＜0，或x＞3 e x 3 +1，0≤x≤3

據(jù)圖象可知：g（x）=

e|x-1|，x＜0，或x＞3 e x 3 +1，0≤x≤3

（-∞，0）單調(diào)遞減，（0，+∞）單調(diào)遞增，
∵a，b∈[-1，5]，且當(dāng)x₁、x₂∈[a，b]時，

g(x1)-g(x2)

x1-x2

＞0恒成立，
∴最大的單調(diào)遞增區(qū)間為[0，5]，
即b-a=5，
故答案為：5．

點評：本題考查函數(shù)的圖象的運(yùn)用，熟練理解題意，據(jù)圖象回答問題，屬于難題．