Question

11．已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若對于任意（x₁，y₁）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，則稱集合M是“理想集合”．給出下列5個集合：
①M={（x，y）|y=$\frac{1}{x}$}；②M={（x，y）|y=x²-2x+2}；③M={（x，y）|y=e^x-2}；
④M={（x，y）|y=lgx}；⑤M={（x，y）|y=sin（2x+3）}．
其中所有“理想集合”的序號是（　　）

• A． ①②
• B． ③⑤
• C． ②③⑤
• D． ③④⑤

Answer 1

分析 根據條件只需要判斷滿足x₁x₂+y₁y₂=0是否恒成立即可．

解答 解：對于①，注意到x₁•x₂+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$∈（-∞，-2]∪[2，+∞），故x₁•x₂+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$=0，即x₁x₂+y₁y₂=0無實數解，因此①不是；
對于②，y=x²-2x+2=（x-1）²+1．當點（x₁，y₁）為（0，2）時，若x₁x₂+y₁y₂=0，則y₂=0，不成立，∴故②不是；
對于③，根據函數的圖象，對于圖象上任一點P，在曲線上存在點與原點的連線，與OP垂直，故③是；
對于④，注意到對于點（1，0），不存在（x₂，y₂）∈M，使得1×x₂+0×lgx₂=0，因為x₂=0與真數的限制條件x₂＞0矛盾，因此④不是
對于⑤，根據正弦函數的圖象，對于圖上任一點P，在曲線上存在點與原點的連線與OP垂直，故⑤是．
故選：B．

點評 本題考查理想集合的定義，畫出函數的圖象，注意到對于任意（x₁，y₁）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，是本題解答的關鍵，函數的基本性質的考查．