【題目】如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D,E分別是AB，BB1的中點.
（Ⅰ）證明： BC1//平面A1CD;
（Ⅱ）設AA1= AC=CB=2，AB=2
，求三棱錐C一A1DE的體積.
【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）
【解析】
試題（Ⅰ）連接AC1交A1C于點F，則DF為三角形ABC1的中位線，故DF∥BC1．再根據直線和平面平行的判定定理證得BC1∥平面A1CD．（Ⅱ）由題意可得此直三棱柱的底面ABC為等腰直角三角形，由D為AB的中點可得CD⊥平面ABB1A1．求得CD的值，利用勾股定理求得A1D、DE和A1E的值，可得A1D⊥DE．進而求得S△A1DE的值，再根據三棱錐C-A1DE的體積為
S△A1DECD，運算求得結果
試題解析：（1）證明：連結AC1交A1C于點F，則F為AC1中點又D是AB中點，
連結DF，則BC1∥DF． 3分
因為DF平面A1CD，BC1不包含于平面A1CD， 4分
所以BC1∥平面A1CD． 5分
（2）解：因為ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥CD．由已知AC=CB，D為AB的中點，所以CD⊥AB．又AA1∩AB=A，于是CD⊥平面ABB1A1． 8分
由AA1=AC=CB=2，
得∠ACB=90°，
，
，
，A1E=3，故A1D2+DE2=A1E2，即DE⊥A1D 10分
所以三菱錐C﹣A1DE的體積為：
=
=1． 12分
快樂5加2金卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
，設實數
、
、
、
、
、
滿足
（i）、、
且不全為0；
（ii）、、
；
（iii）若
，則
.
若所有形如
和
的數均不為2014的倍數，則稱集合
為“好集”.求好集所含元素個數的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知正方形ABCD的邊長為2,AC∩BD=O.將正方形ABCD沿對角線BD折起,使AC=a,得到三棱錐A-BCD,如圖所示.
(1)當a=2時,求證:AO⊥平面BCD.
(2)當二面角A-BD-C的大小為120°時,求二面角A-BC-D的正切值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某學習小組由學生和教師組成，人員構成同時滿足以下三個條件：①男生人數多于女生人數；②女生人數多于教師人數；③教師人數的兩倍多于男生人數．問：
（1）若教師人數為4，則女生人數的最大值為多少？
（2）該小組人數的最小值為多少？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，DA＝DC＝2，
，E是C1D1的中點，F是CE的中點．
（1）求證：EA∥平面BDF；
（2）求證：平面BDF⊥平面BCE；
（3）求二面角D﹣EB﹣C的正切值．
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