Question

如圖所示幾何體中，△ABC為正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE＝AB＝2a，CD＝a，F為BE中點． (1) 求證：DF∥平面ABC (2) 求證：AF⊥BD (3) 求該幾何體體積

Answer 1

答案：
解析：

(1)	取AB中點G，連結CG、FG 　　∵F為BE中點 　　∴FG∥AE，FG＝AE． 　　∴FG∥CD，FG＝CD 　　∴四邊形FGCD為平行四邊形 　　∴DF∥CG 　　∴DF∥面ABC
(2)	∵△ABC為正三角形 　　∴CG⊥AB 　　又EA⊥平面ABC 　　∴CG⊥AE． 　　∴CG⊥平面AEB 　　∴CG⊥AF 　　又CG∥DF， 　　∴AF⊥DF 　　又AE＝AB， 　　∴AF⊥BE 　　∴AF⊥平面BED 　　∴AF⊥BD
(3)	取AC中點M，連結BM，易知面AEDC⊥面ABC 　　∴VABCED＝VB－AEDC＝S四邊形AEDC·BM＝a3