Question

如圖所示幾何體中，平面PAC⊥平面ABC，PM∥BC，PA=PC，AC=1，BC=2PM=2，AB=

5

，若該幾何體左視圖（側(cè)視圖）的面積為

3

4

．
（1）求證：PA⊥BC；
（2）畫出該幾何體的主視圖（正視圖）并求其面積S；
（3）求出多面體PMABC的體積V．

Answer 1

分析：（1）先由勾股定理證明BC與AC垂直，再由面面垂直的性質(zhì)定理，證明BC與平面PAC垂直，最后由線面垂直的定義證明BC與PA垂直
（2）利用正投影的方法，該幾何體的正視圖是一個(gè)以PM、BC長(zhǎng)為上下底邊長(zhǎng)，以點(diǎn)P到底面ABC的距離為高的直角梯形，由梯形面積公式即可計(jì)算其面積
（3）此多面體為一個(gè)以四邊形PCBM為底面，以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的四棱錐，由于底面為直角梯形，高為點(diǎn)A到PC的距離，故利用椎體的體積計(jì)算公式即可求得其體積

解答：解：（1）∵AC=1，BC=2，AB=

5

，
∴AC²+BC²=AB²，∴AC⊥BC
∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，
∴BC⊥平面PAC
∵PA?平面PAC，
∴PA⊥BC．
（2）該幾何體的主視圖如下：

∵PA=PC，取AC的中點(diǎn)D，連接PD，則PD⊥AC，又平面PAC⊥平面ABC，則PD⊥平面ABC，
∴幾何體左視圖的面積=

1

2

×AC×PD=

1

2

×1×PD=

3

4

∴PD=

3

2

，并易知△PAC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，
∴主視圖的面積是上、下底邊長(zhǎng)分別為1和2，PD的長(zhǎng)為高的直角梯形的面積，
∴S=

1+2

2

×

3

2

=

3 3

4

（3）取PC的中點(diǎn)N，連接AN，由△PAC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，可知AN⊥PC，由（1）BC⊥平面PAC，可知AN⊥BC，
∴AN⊥平面PCBM，
∴AN是四棱錐A-PCBM的高且AN=

3

2

由BC⊥平面PAC，可知BC⊥PC，
由PM∥BC可知四邊形PCBM是上、下底邊長(zhǎng)分別為1和2，PC的長(zhǎng)1為高的直角梯形，其面積S′=

3

2

．
∴V=

1

3

S′×AN=

3

4

點(diǎn)評(píng)：本題考查了面面垂直的性質(zhì)定理，線面垂直的性質(zhì)，三視圖的畫法，以及椎體體積的計(jì)算公式，空間想象能力