Question

已知過點A（-1，1）的直線與橢圓

x2

8

+

y2

4

=1交于點B、C，當直線l繞點A（-1，1）旋轉時，求弦BC中點M的軌跡方程．

Answer 1

分析：利用點差法來求弦的中點問題．可先設弦BC的中點M以及B，C點的坐標，把直線BC斜率分別用A點坐標以及M點坐標表示，化簡即可得含x，y的方程，即弦BC的中點M的軌跡方程．

解答：解：設B（x₁，y₁）、C（x₂，y₂）、M（x，y），直線BC：y-1=k（x+1）
由于橢圓

x2

8

+

y2

4

=1可化為：x²+2y²=8．
則x₁²+2y₁²=8①，x₂²+2y₂²=8②
①-②得：（x₁+x₂）（x₁-x₂）+2（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0
整理得：

2(y1+y2)

x1+x2

•

y1-y2

x1-x2

=-1
化簡得：k=

y1-y2

x1-x2

=-

2y

x

，代入y-1=k（x+1），
整理得：x²+2y²+x-2y=0，即為BC的中點M的軌跡方程．

點評：本題主要考查了點差法求弦中點軌跡方程問題，屬于圓錐曲線的常規題．