Question

求所有使得下列命題成立的正整數n（n≥2）：對于任意實數x₁，x₂，…，x_n，當

n

i=1

xi=0時，有 

n

i=1

xixi+1≤0 （ 其中x_n+1=x₁）．

Answer 1

分析：當n=2，n=3，n=4時，代入可判斷

n

i=1

xixi+1≤0是否成立，當當n≥5時，令x₁=x₂=1，x₄=-2，x₃=x₅=x₆+…+x_n=0，

n

i=1

xi=0，但是

n

i=1

xixi+1=1＞0，故對于n≥5命題不成立．

解答：解：當n=2時，由x₁+x₂=0，得x₁x₂+x₂x₁=-2x₁²≤0．
所以n=2時命題成立．…（3分）
當n=3時，由x₁+x₂+x₃=0，得
x₁x₂+x₂x₃+x₃x₁=

(x1+x2+x3)2-( x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 )

2

=

-( x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 )

2

≤0．
所以n=3時命題成立．…（6分）
當n=4時，由x₁+x₂+x₃+x₄=0，得
x₁x₂+x₂x₃+x₃x₄+x₄x₁=（x₁+x₃）（x₂+x₄）=-（x₁+x₃）²≤0．
所以n=4時命題成立．                            …（9分）
當n≥5時，令x₁=x₂=1，x₄=-2，x₃=x₅=x₆+…+x_n=0
則

n

i=1

xi=0．
但是，

n

i=1

xixi+1=1＞0，故對于n≥5命題不成立．
綜上可知，使命題成立的自然數是 2，3，4．…（15分）

點評：本題考查的知識點是命題的真假判斷與應用，本題的難點在于n≥5，舉出反例x₁=x₂=1，x₄=-2，x₃=x₅=x₆+…+x_n=0