Question

已知函數(shù)，，(其中)，設(shè).

（Ⅰ）當(dāng)時,試將表示成的函數(shù),并探究函數(shù)是否有極值；

（Ⅱ）當(dāng)時，若存在，使成立，試求的范圍.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）當(dāng)時在定義域內(nèi)有且僅有一個極值，當(dāng)時在定義域內(nèi)無極值;

（Ⅱ）或

【解析】

試題分析：（Ⅰ）觀察與的特點，可得，，，即可得到函數(shù)，觀察此函數(shù)特征可想到對其求導(dǎo)得，由二次函數(shù)的圖象不難得出在上有解的條件，進(jìn)而求出的范圍; （Ⅱ）由可得，又由可得，故可令函數(shù)的最大值為正，對函數(shù)求導(dǎo)令其為0得求出，由與，和與的大小關(guān)系對進(jìn)行分類討論，并求出各自情況的最大值，由最大值大于零即可求出的范圍．

試題解析：（Ⅰ）∵,

,

∴ ∴       (3分)

  設(shè)是的兩根，則，∴在定義域內(nèi)至多有一解,

欲使在定義域內(nèi)有極值，只需在內(nèi)有解，且的值在根的左右兩側(cè)異號，∴得                (6分)

綜上：當(dāng)時在定義域內(nèi)有且僅有一個極值，當(dāng)時在定義域內(nèi)無極值．

（Ⅱ）∵存在，使成立等價于的最大值大于0，

∵，∴,

∴得.

當(dāng)時，得；

當(dāng)時，得           (12分)

當(dāng)時，不成立                (13分)

當(dāng)時，得；

當(dāng)時，得；

綜上得：或               (16分)

考點：1.代數(shù)式的化簡;2.函數(shù)的極值;3.導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的運用