Question

已知F₁，F₂是橢圓和雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公共點．且∠F₁PF₂=

π

3

，則橢圓和雙曲線的離心率的倒數之和的最大值為（　　）

• A、

  4 3

  3

• B、

  2 3

  3

• C、3
• D、2

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質,余弦定理,雙曲線的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：根據雙曲線和橢圓的性質和關系，結合余弦定理即可得到結論．

解答：解：設橢圓的長半軸為a，雙曲線的實半軸為a₁，（a＞a₁），半焦距為c，
由橢圓和雙曲線的定義可知，
設|PF₁|=r₁，|PF₂|=r₂，|F₁F₂|=2c，
橢圓和雙曲線的離心率分別為e₁，e₂
∵∠F₁PF₂=

π

3

，
∴由余弦定理可得4c²=（r₁）²+（r₂）²-2r₁r₂cos

π

3

，①
在橢圓中，①化簡為即4c²=4a²-3r₁r₂，
即

3r1r2

4c2

=

1

e 2 1

-1，②
在雙曲線中，①化簡為即4c²=4a₁²+r₁r₂，
即

r1r2

4c2

=-

1

e 2 2

+1，③
聯立②③得，

1

e 2 1

+

3

e 2 2

=4，
由柯西不等式得（1+

1

3

）（

1

e 2 1

+

3

e 2 2

）≥（1×

1

e1

+

1

3

×

3

e2

）²，
即（

1

e1

+

1

e2

） 2≤

4

3

×4=

16

3

即

1

e1

+

1

e2

≤

16 3

=

4 3

3

，d當且僅當e1=

3

3

，e2=

3

時取等號，
法2：設橢圓的長半軸為a₁，雙曲線的實半軸為a₂，（a₁＞a₂），半焦距為c，
由橢圓和雙曲線的定義可知，
設|PF₁|=r₁，|PF₂|=r₂，|F₁F₂|=2c，
橢圓和雙曲線的離心率分別為e₁，e₂
∵∠F₁PF₂=

π

3

，
∴由余弦定理可得4c²=（r₁）²+（r₂）²-2r₁r₂cos

π

3

=（r₁）²+（r₂）²-r₁r₂，
由

r1+r2=2a1 r1-r2=2a2

，得

r1=a1+a2 r2=a1-a2

，
∴

1

e1

+

1

e2

=

a1+a2

c

=

r1

c

，
令m=

r12

c2

=

4r12

r12+r22-r1r2

=

4

1+( r2 r1 )2- r2 r1

=

4

( r2 r1 - 1 2 )2+ 3 4

，
當

r2

r1

=

1

2

時，m max=

16

3

，
∴(

r1

c

)max=

4 3

3

，
即∴

1

e1

+

1

e2

的最大值為

4 3

3

，
故選：A

點評：本題主要考查橢圓和雙曲線的定義和性質，利用余弦定理和柯西不等式是解決本題的關鍵．難度較大．