Question

已知函數，為自然對數的底數）.

(Ⅰ)當時,求的單調區間；

(Ⅱ)若函數在上無零點,求最小值；

(Ⅲ)若對任意給定的,在上總存在兩個不同的),使成立,求的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) 的單調遞減區間為，單調遞增區間為；(Ⅱ) ；(Ⅲ) .

【解析】

試題分析：(Ⅰ)將代入，對求導，令和分別求出函數的單調遞增區間和單調遞減區間；(Ⅱ)通過分析已知先得到“對，恒成立”，下面求在上的最大值，所以，解出的最小值；(Ⅲ)先對求導，判斷出上的單調性，并求出的值域，再對求導，確定單調性，畫出簡圖，因為，得到，通過驗證（2）是恒成立的，所以只需滿足（3）即可，所以解出的取值范圍.

試題解析：(Ⅰ)當時, ()，則.    1分

由得；由得.                3分

故的單調遞減區間為，單調遞增區間為.        4分

(Ⅱ)因為在區間上恒成立是不可能的,       5分

故要使函數在上無零點,只要對任意,恒成立.

即對，恒成立.       6分

令，，則，

再令，，則.

故在為減函數，于是，

從而，于是在上為增函數，

所以，            8分

故要使恒成立，只要.

綜上可知，若函數在上無零點，則的最小值為.   9分

(Ⅲ)，所以在上遞增，在上遞減.

又，，

所以函數在上的值域為.            10分

當時，不合題意；

當時，， .

當時，，由題意知，在上不單調，

故，即            11分

此時，當變化時，，的變化情況如下：

	—	0	+
	↘	最小值	↗

又因為當時，，

，，

所以，對任意給定的，在上總存在兩個不同的，

使得成立，當且僅當滿足下列條件：

，       12分

令，，則，

故當時，函數單調遞增，

當時，函數單調遞減，

所以，對任意的，有，

即(2)對任意恒成立，則(3)式解得 (4) .     13分

綜合(1)與(4)可知，當時，對任意給定的，

在上總存在兩個不同的，使得成立.      14分

考點：1.用導數求函數的單調區間；2.用導數研究函數的零點；3.恒成立問題.